量子計算（量子回路・量子チャネル・量子測定を含む任意の量子実装）により生成される各ステップの観測 $X_i$
は、履歴 $x_{
Definition 1.1: 適応的方策と確率核
- 履歴: $x_{< i} := (x_1, \dots, x_{i-1}) \in \mathcal{X}^{i-1}$。
- 方策（Policy） $\pi$: 可測写像の列 $\pi_i: \mathcal{X}^{i-1} \to \Theta$。
- 確率核（Probability Kernel） $K_i$: 写像 $K_i: \mathcal{X}^{i-1} \times \Theta \to \Delta(\mathcal{X})$ であり、任意の $A$ に対し $x_{< i} \mapsto K_i(A \mid x_{< i}, \pi_i(x_{< i}))$ は可測であるとする。
Theorem 1: Sampling Representation / Ionescu-Tulcea
標準Borel空間 $(\mathcal{X}, \mathcal{B})$ 上の確率核列 $K_i$ と適応的方策 $\pi$ に対し、積空間 $(\mathcal{X}^m, \mathcal{B}^{\otimes m})$ 上に一意な確率測度（Path Measure） $P^\pi$ が存在し、以下の連鎖律を満たす：
$$P^\pi(A_1 \times \dots \times A_m) = \int_{A_1} \dots \int_{A_m} \prod_{i=1}^m K_i(dx_i \mid x_{< i}, \pi_i(x_{< i}))$$
Ionescu-Tulceaの定理により測度の存在と一意性は保証される。
なお量子実装の場合も、公理 A2 により各ステップは古典確率核 $K_i(\cdot\mid x_{■
2. 推定タスクとLipschitz性
Definition U1: TV距離とターゲット
TV距離を $d_{TV}(P, Q) := \sup_{A \in \mathcal{B}} |P(A) - Q(A)|$ とする。
有界可測関数 $h: \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ ($|h| \le 1$) に対し、汎関数を $\mu(P) := \mathbb{E}_{P}[h]$ とする。
Definition U1'': パラメータ表現
パラメータ $\theta$ により参照分布 $P_\theta\in\Delta(\mathcal{X})$ が定まるとする。
このとき $\mu(\theta):=\mu(P_\theta)=\mathbb{E}_{P_\theta}[h]$ と定義する。
Lemma U1': TV距離に関する期待値差の上界
任意の確率測度 $P,Q$ と任意の可測関数 $h:\mathcal{X}\to\mathbb{R}$ が $|h|\le 1$ を満たすとき、
$$|\mathbb{E}_{P}[h]-\mathbb{E}_{Q}[h]|\le 2\,d_{TV}(P,Q)$$
が成り立つ。
TV距離の双対表示 $d_{TV}(P,Q)=\frac12\sup_{|f|\le 1}|\mathbb{E}_{P}[f]-\mathbb{E}_{Q}[f]|$ より従う。
■
3. 有限資源SLAの閉包
Assumption U2-A: 条件付き分布の一様上界
理想（参照）分布 $P_{\theta^\ast}$ を固定する。
各ステップの条件付き分布を $Q_i(\cdot):=K_i(\cdot\mid \mathcal{F}_{i-1})$ とおく。
ある定数 $\gamma\in[0,1]$ が存在して、
$$d_{TV}(Q_i, P_{\theta^\ast}) \le \gamma \quad \text{が全ての } i=1,\dots,m \text{ で a.s. 成立する}$$
と仮定する。
Theorem U2: Doob分解＋Azuma-Hoeffding
推定量を $\hat{\mu}_m := \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m h(X_i)$ と定義する。
$\mathcal{F}_i = \sigma(X_1, \dots, X_i)$ とする。マルチンゲール差分 $\Delta_i := h(X_i) - \mathbb{E}[h(X_i) \mid \mathcal{F}_{i-1}]$ を定義すると、以下のDoob分解が成立する：
$$\hat{\mu}_m - \mu(\theta^*) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \Delta_i + \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m (\mathbb{E}[h(X_i) \mid \mathcal{F}_{i-1}] - \mu(\theta^*))$$
ここで $|h| \le 1$ より $|\Delta_i| \le 2$ (a.s.) である。Azuma–Hoeffding の不等式（$|\Delta_i|\le 2$）を適用すると、任意の $\epsilon > 0$ に対し：
$$P\left( \left| \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \Delta_i \right| \ge \epsilon \right) \le 2\exp\left( - \frac{m\epsilon^2}{8} \right)$$
また、仮定 U2-A のもとで、補題 U1' を $P=Q_i,\,Q=P_{\theta^\ast}$ に適用すると
$$\left|\mathbb{E}[h(X_i)\mid\mathcal{F}_{i-1}]-\mu(\theta^\ast)\right|\le 2\,d_{TV}(Q_i,P_{\theta^\ast})\le 2\gamma$$
が a.s. 成立する。従ってバイアス項は全体として $2\gamma$ で抑えられる。
$$P\left( |\hat{\mu}_m - \mu(\theta^*)| \ge \epsilon + 2\gamma \right) \le 2\exp\left( - \frac{m\epsilon^2}{8} \right)$$
これにより、SLA $(\epsilon_{total}, \delta)$ を満たすための条件は $\epsilon_{total} > 2\gamma$ かつ $m \ge \frac{8}{(\epsilon_{total}-2\gamma)^2} \ln \frac{2}{\delta}$ として一意に定まる。
4. 情報論的下界と不可避性
Theorem U3: 適応的下界（Le Cam + KL 連鎖）
任意の方策 $\pi$ により生成される観測列（transcript） $X_{1:m}$ の分布を $P^\pi_\theta$ とする。
以後、パラメータ $\theta$ のもとでのステップ $i$ の確率核を $K_{i,\theta}$ と書く（すなわち $P^\pi_\theta$ は核列 $\{K_{i,\theta}\}_{i=1}^m$ と方策 $\pi$ により誘導される）。
2点 $\theta_0,\theta_1$ に対し $\Delta:=|\mu(\theta_0)-\mu(\theta_1)|$ とおく。
任意の推定量 $\hat{\mu}$ に対し次が成り立つ：
$$ \max_{j\in\{0,1\}} P^\pi_{\theta_j}\!\left(|\hat{\mu}-\mu(\theta_j)|\ge \frac{\Delta}{2}\right)
\;\ge\; \frac12\left(1-d_{TV}(P^\pi_{\theta_0},P^\pi_{\theta_1})\right). \tag{U3-1}$$
さらに Pinsker の不等式より
$$ d_{TV}(P^\pi_{\theta_0},P^\pi_{\theta_1}) \le \sqrt{\frac12\,D_{KL}(P^\pi_{\theta_0}\|P^\pi_{\theta_1})}. \tag{U3-2}$$
もし各ステップで絶対連続性が成り立ち、KL 連鎖律
$$ D_{KL}(P^\pi_{\theta_0}\|P^\pi_{\theta_1})
= \mathbb{E}_{P^\pi_{\theta_0}}\!\left[\sum_{i=1}^m D_{KL}(K_{i,\theta_0}(\cdot\mid \mathcal{F}_{i-1})\|K_{i,\theta_1}(\cdot\mid \mathcal{F}_{i-1}))\right] \tag{U3-3}$$
が適用でき、かつ各ステップの条件付きKLが一様に
$$D_{KL}(K_{i,\theta_0}(\cdot\mid \mathcal{F}_{i-1})\|K_{i,\theta_1}(\cdot\mid \mathcal{F}_{i-1})) \le \kappa \quad \text{a.s.} \tag{U3-4}$$
を満たすなら、(U3-1)(U3-2)より
$$ \max_{j\in\{0,1\}} P^\pi_{\theta_j}\!\left(|\hat{\mu}-\mu(\theta_j)|\ge \frac{\Delta}{2}\right)
\;\ge\; \frac12\left(1-\sqrt{\frac{m\kappa}{2}}\right). \tag{U3-5}$$
従って、誤り確率を $\delta<\frac12$ 未満にすることが可能であるための必要条件として
$$ m\kappa \;\ge\; 2(1-2\delta)^2 \tag{U3-NEC}$$
が得られる。すなわち、
適応的に生成される transcript の監査において、
「識別困難度（$\kappa$）と観測回数（$m$）の積」による不可避な制約が存在する。
(U3-1) は Le Cam の二点法による。
(U3-2) は Pinsker の不等式による。
(U3-3) は適応的確率核の連鎖（chain rule）であり、(U3-4) を仮定すれば $D_{KL}(P^\pi_{\theta_0}\|P^\pi_{\theta_1})\le m\kappa$。
これを (U3-1)(U3-2) に代入して (U3-5) を得る。最後に (U3-5) の右辺が $\delta$ 以下となるための必要条件が (U3-NEC) である。
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Note U3-Q: 量子コンピュータへの適用
量子コンピュータの実行は、公理 A2 により各ステップで古典確率核 $K_{i,\theta}(\cdot\mid \mathcal{F}_{i-1})$ を誘導する。
よって定理 U3 は量子 transcript にそのまま適用できる。
さらに量子側で $K_{i,\theta}$ が「量子状態→測定」の形で与えられる場合、
測定は情報を増やさない（データ処理不等式）ので、条件付きKLの上界評価を量子相対エントロピー等で上から抑えることができる。
5. 結論
以上により、量子コンピュータの実行ログ（transcript）を「適応性確率核列」として扱う最小公理（A1,A2）の下で、
(i) 有限標本での誤差保証（U2）と、(ii) 避けられない情報論的下界（U3）を同一の形式で与えた。
ここで提示したのは「特定の物理実装の優劣」ではなく、監査として確実に言える“保証”と“限界”を、仮定ごとに切り分けて固定する枠組みである。
従って、入力仕様（許容誤差・失敗確率・観測回数・理想分布からの偏差）に対し、何が数学的に保証され、何が原理的に不可能かを、明示的に判定できる。
参考文献 / Selected Bibliography
本監査レポートの証明構造を公理的・測度論的に固定するために、以下の一次文献および標準教科書を理論的支柱として採用した。
A. 測度論・確率核・Ionescu–Tulcea
-
Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability (Springer, 2021).
公理A1および定理1の理論的支柱。標準Borel空間、正則条件付き確率の標準的参照。
-
D. P. Bertsekas & S. E. Shreve, Stochastic Optimal Control: The Discrete-Time Case.
「確率核列＋方策→パス測度」という制御付き定式化の工学的定番。
B. マルチンゲール／Doob 分解／Azuma–Hoeffding
-
Wassily Hoeffding, “Probability inequalities for sums of bounded random variables” (JASA, 1963).
定理U2の指数型評価の原典。定数評価の基礎。
-
Igal Sason, “On refined versions of the Azuma–Hoeffding inequality ...”
Azuma–Hoeffding の精密化。SLA算出の信頼性を担保。
C. TV距離・Pinsker・情報量
-
Yury Polyanskiy & Yihong Wu, Information Theory (CUP Draft).
KL・TV・各種不等式を非漸近的視点で整理した現代的参照。
-
Cover & Thomas, Elements of Information Theory (2nd ed.).
情報理論の標準書。
D. Le Cam 下界・適応的 transcript
-
Lucien Le Cam, Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory (Springer, 1986).
定理U3の核心である “Le Cam の補題” の正統派参照。
-
Tor Lattimore & Csaba Szepesvári, Bandit Algorithms (CUP, 2020).
適応的データ収集と下界議論の参照元。
-
Emilie Kaufmann, et al., “On the Complexity of Best-Arm Identification ...” (JMLR, 2016).
適応的確率核の連鎖律と下界議論に直結。
E. 量子インストゥルメント／測定の確率化
-
E. B. Davies & J. T. Lewis, “An operational approach to quantum probability” (1970).
量子測定を Instrument として扱う際の古典的基礎文献。
-
John Watrous, The Theory of Quantum Information (CUP, 2018).
量子チャネル・測定の数学的定式化。
【本監査レポートの性質について】
本稿は、純粋数学的な真理探究ではなく、産業実装における「システムとしての説明責任（Accountability）」と「有限リソース下での検証可能性（Auditability）」を評価基準とした、工学的監査レポートです。数理モデルは、現実の運用リスクを最大限に可視化するために構成されています。