有限閉包のためのビーコン原理
The Beacon Principle for Finite Closure
GhostDrift数理研究所
概要 (Abstract)
本稿では、散逸力学系における有限閉包（finite-closure）現象のための「ビーコン原理（beacon principle）」を定式化する。一度、有限のビーコン $(\text{ウィンドウ},\ \text{ターゲット},\ \text{正値性バウンド})$ を固定すれば、ビーコン適合エネルギーに関して散逸的な任意のダイナミクスは、有理データで表現され、$\Sigma_1$ 検証に適した明示的な有限閉包半径 $R_{\mathrm{fc}}(\mathcal{B},V,W_\infty)$ を許容する。
解析の核となるのは、コンパクトな台を持つウィンドウ $w_\Xi$ と湯川核（Yukawa kernel） $G_\lambda$、およびポアソン平滑化（Poisson smoother） $P_\tau$ を畳み込むことで得られる一族の「ビーコン核（beacon kernels）」 $K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}$ である。我々は、定量的な「一様ウィンドウ正値性（uniform window positivity）」定理を証明する。すなわち、パラメータ $(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)$ の各選択に対し、平滑化されたビーコン核は $[-\Delta,\Delta]$ 上で厳密に正の下限 $\delta_{\mathrm{pos}}(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)$ を持ち、さらにその外向きに丸められた有理下限（outward-rounded rational lower bounds）を構成する。
この核解析の上に、一般的な「有限閉包定理（finite closure theorem）」を構築する。状態空間 $\mathcal{X}$、エネルギー汎関数 $V$、およびビーコン観測 $b(x)=K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}*\Phi(x)$ が与えられたとき、$b(x)$ が大きい場所で $V$ が散逸し、かつ $V(x)$ が大きい場所では $b(x)$ が小さくなり得ないならば、すべての軌道は有限のレベル集合 $\{V\le R\}$ に閉じ込められることを示す。この意味で、$V$ は観測チャネル $b$ を通じて能動的に排出される「ビーコンエネルギー」の役割を果たし、ビーコンの三つ組（triple）の選択は、設計者の「エージェンシー（agency / 主体性）」――どこを聞き、何を聞き、どのレベルのエネルギー検出にコミットするか――をコード化するものである。
「ビーコン原理」は、メカニズム全体が以下の三つ組によって決定されることを主張する。
\[
\text{beacon} = (\text{ウィンドウ},\ \text{ターゲット},\ \text{正値性バウンド})
\]
ここでターゲットは、状態型（state）、偏差型（deviation）、勾配型（gradient）の3つの構造的タイプのいずれかである。
1. イントロダクション (Introduction)
多くの制御システムは、共通した定性的な振る舞いを示す。潜在的に非有界な状態空間や継続的な外乱にもかかわらず、軌道は設計パラメータと外乱レベルによって決定される有限領域に留まるのである。例としては、風や交通荷重を受ける減衰付きの橋の有界振動、エネルギーシステムにおけるバッテリー充電率の安定化、セキュリティカーネルにおける異常の抑制、意味指向のオペレーティングレイヤーにおける意味的不整合の解決などが挙げられる。我々はこの現象を「有限閉包（finite closure）」と呼ぶ。
ビーコン原理は、これらの現象の背後にある共通の構造的選択を分離する。すなわち、エージェント（設計者、オペレーター、あるいは意味的参加者）が、どこに有限のウィンドウを配置し、それを通して何を監視し、どれだけの信号を有意と見なすか、という決定である。この選択こそが我々が「エージェンシー（主体性）」と呼ぶものである。有限閉包の証明書（certificate）は決して純粋に幾何学的なものではなく、常に関与する当事者によって選択された特定のビーコンウィンドウとターゲットに紐付いている。この選択を感じ取る数学的対象がビーコンエネルギー $V$ であり、ビーコン観測が大きい場合には常にその散逸が強制される。
本稿の目的は、このような有限閉包の背後にある単純な解析的メカニズムを分離し、アプリケーション間で一様な形式で表現することである。中心となる対象は「ビーコン」であり、これは有限ウィンドウと、選択された状態の側面を「見る」正則化核から構築される観測可能量（observable）である。非形式的に言えば、ビーコン原理は次のように述べられる：
我々が「どこまで」見るか（ウィンドウ）、「何を」見るか（ターゲット）、そしてウィンドウが「どれほど強く」反応するか（正値性バウンド）を固定すれば、ダイナミクスの有限閉包半径 $R_{\mathrm{fc}}(\mathcal{B},V,W_\infty)$ は決定される。
形式的には、これはビーコン有限閉包原理（定理 5.4）によって捉えられる。解析的には、ビーコンは畳み込み演算子として実現される：
\[
b(x) = K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)} * \Phi(x)
\]
ここで、$K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}$ はスパン $\Xi>0$、湯川減衰パラメータ $\lambda>0$、平滑化スケール $\tau>0$ に依存する平滑化ビーコン核であり、$\Phi$ は状態から構築されるターゲットである。我々はターゲットの3つの構造的タイプを区別する：
- 状態型 (state type): ビーコンウィンドウは状態そのものに配置される。
- 偏差型 (deviation type): ビーコンウィンドウは参照や予測からの偏差を測定する。
- 勾配型 (gradient type): ビーコンウィンドウはエネルギー勾配や駆動力を探査する。
これらのタイプは、アプリケーションにおける一般的なセンシングのパラダイムに対応している。
本稿の技術的なバックボーンは、「一様ウィンドウ正値性（Uniform Window Positivity: UWP）」の結果である。パラメータ $(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)$ の各選択に対し、平滑化されたビーコン核 $K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}$ が $[-\Delta,\Delta]$ 上で厳密に正であることを証明し、明示的な下限 $\delta_{\mathrm{pos}}(\Xi,\lambda,\tau,\Delta) > 0$ を導出する。
本稿では、以下の3つの主要な結果を確立する：
- 定量的・一様ウィンドウ正値性: 定理 3.3 は、明示的な下限を与える。
- $\SigOne$ フレンドリーな有理正値性証明書: 命題 3.5 は、形式検証に適した有理数の下限 $\widehat{\delta}_{\mathrm{pos}}$ への変換を示す。
- ビーコン有限閉包原理と設計選択の分離: 定理 5.4 は、ウィンドウ・ターゲット・正値性バウンドという設計ハンドルをダイナミクスの詳細から分離する。
2. ビーコン核：有限ウィンドウと湯川畳み込み
このセクションでは、1次元領域 $\RR$（時間または空間）を固定する。全ての核は実数値かつ可積分であると仮定する。
2.1 有限ウィンドウ (Finite window)
定義 (有限ウィンドウ).
$\Xi>0$ とする。スパン $\Xi$ を持つ
有限ウィンドウ $w_\Xi:\RR\to[0,\infty)$ とは、以下を満たす関数である：
- コンパクトな台と偶関数性: 全ての $t$ で $w_\Xi(t)=w_\Xi(-t)$ かつ $\mathrm{supp}\, w_\Xi \subset [-\Xi,\Xi]$。
- 可積分性と正規化: $\int_\RR w_\Xi(t)\,dt = 1$。
- 正値性: 全ての $t$ で $w_\Xi(t)\ge 0$。
2.2 湯川核 (Yukawa kernel)
定義 (湯川核).
$\lambda>0$ とする。パラメータ $\lambda$ を持つ（1次元）湯川核 $G_\lambda:\RR\to(0,\infty)$ は次のように定義される：
\[
G_\lambda(t) := \frac{1}{2\lambda}\,e^{-\lambda|t|},\qquad t\in\RR.
\]
これは正規化されており、$\int_\RR G_\lambda(t)\,dt = 1$ を満たす。パラメータ $\lambda$ は減衰長を制御する。
2.3 ビーコン核とビーコン変換
定義 (ビーコン核).
$\Xi>0$ と $\lambda>0$ に対し、関連するビーコン核は以下の畳み込みである：
\[
K_{\Xi,\lambda} := w_\Xi * G_\lambda
\]
定義 (ビーコン変換).
信号 $f$ のパラメータ $(\Xi,\lambda)$ によるビーコン変換は次のものである：
\[
\mathcal{B}_{\Xi,\lambda}[f](t) := (K_{\Xi,\lambda} * f)(t)
\]
これは有限範囲の指数重み付き平均化演算子である。
2.4 ビーコンターゲット：3つの構造的タイプ
定義 (ビーコンターゲット: 状態型 S).
$$ \Phi(x) = S(x) $$
ビーコンは状態そのものを観測する。
定義 (ビーコンターゲット: 偏差型 D).
$$ \Phi(x) = S(x) - S_{\mathrm{ref}}(x) $$
ビーコンは参照信号からの偏差を観測する。
定義 (ビーコンターゲット: 勾配型 G).
$$ \Phi(x) = J(x)[\nabla E(x)] $$
ビーコンはエネルギー勾配（駆動力）を観測する。
3. 一様ウィンドウ正値性と定量的下限
3.1 ポアソン平滑化と平滑化ビーコン核
定義 (ポアソン核).
$\tau>0$ に対し、
$$ P_\tau(t) := \frac{1}{\pi}\frac{\tau}{t^2+\tau^2}. $$
定義 (平滑化ビーコン核).
\[
K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)} := P_\tau * K_{\Xi,\lambda} = P_\tau * (w_\Xi * G_\lambda)
\]
3.2 コンパクト区間上の一様ウィンドウ正値性
$\Delta>0$ に対し、$\delta_{\mathrm{pos}}(\Xi,\lambda,\tau,\Delta) := \inf_{|t|\le\Delta} K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}(t)$ と置く。
定理 3.3 (定量的・一様ウィンドウ正値性).
$\Xi,\lambda,\tau,\Delta>0$ とする。全ての $|t|\le\Delta$ に対して以下が成り立つ：
\[
K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}(t)
\;\ge\;
\frac{\tau\,\Delta}{\pi\,\lambda\,(4\Delta^2+\tau^2)}
\exp\bigl(-\lambda(\Xi+\Delta)\bigr)
\;=:\;
\delta_\star(\Xi,\lambda,\tau,\Delta).
\]
したがって、$\delta_{\mathrm{pos}}(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)$ は正であり、
\[
0 < \delta_\star(\Xi,\lambda,\tau,\Delta) \le \delta_{\mathrm{pos}}(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)
\]
が成り立つ。
証明.
まず、ビーコン核 $K_{\Xi,\lambda} = w_\Xi * G_\lambda$ の下限を評価する。
$w_\Xi$ の定義より、$\mathrm{supp}\,w_\Xi\subset[-\Xi,\Xi]$ かつ
$w_\Xi\ge0$，$\int_\RR w_\Xi(s)\,ds = 1$ である。
一方、湯川核は
\[
G_\lambda(t) = \frac{1}{2\lambda} e^{-\lambda|t|}
\]
であり、$t\mapsto G_\lambda(t)$ は偶関数で単調減少である。
任意の $|t|\le\Delta$ と $s\in[-\Xi,\Xi]$ に対し、$|t-s|\le \Xi+\Delta$ だから、
\[
G_\lambda(t-s)
\;\ge\;
\frac{1}{2\lambda}\,e^{-\lambda(\Xi+\Delta)}.
\]
したがって
\[
K_{\Xi,\lambda}(t)
= \int_\RR w_\Xi(s)\,G_\lambda(t-s)\,ds
= \int_{-\Xi}^{\Xi} w_\Xi(s)\,G_\lambda(t-s)\,ds
\;\ge\;
\frac{1}{2\lambda}e^{-\lambda(\Xi+\Delta)}
\int_{-\Xi}^{\Xi} w_\Xi(s)\,ds
= \frac{1}{2\lambda}e^{-\lambda(\Xi+\Delta)}
\]
が全ての $|t|\le\Delta$ について成り立つ。
次に、ポアソン平滑化
\[
K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)} = P_\tau * K_{\Xi,\lambda}
\]
を評価する。ポアソン核 $P_\tau$ は
\[
P_\tau(t) = \frac{1}{\pi}\frac{\tau}{t^2+\tau^2}
\]
であり、$t\mapsto P_\tau(t)$ も偶関数で単調減少である。
任意の $|t|\le\Delta$ に対し、
\[
K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}(t)
= \int_\RR P_\tau(t-u)\,K_{\Xi,\lambda}(u)\,du
\;\ge\;
\int_{-\Delta}^{\Delta} P_\tau(t-u)\,K_{\Xi,\lambda}(u)\,du
\]
が成り立つ。ここで、$|t|\le\Delta$ かつ $|u|\le\Delta$ なら $|t-u|\le 2\Delta$ なので、
\[
P_\tau(t-u) \;\ge\; \min_{|v|\le 2\Delta} P_\tau(v)
= \frac{1}{\pi}\frac{\tau}{4\Delta^2+\tau^2}.
\]
また、上で得た下限より、全ての $|u|\le\Delta$ について
\[
K_{\Xi,\lambda}(u) \ge \frac{1}{2\lambda}e^{-\lambda(\Xi+\Delta)}
\]
である。よって
\[
K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}(t)
\;\ge\;
\frac{1}{\pi}\frac{\tau}{4\Delta^2+\tau^2}
\int_{-\Delta}^{\Delta} K_{\Xi,\lambda}(u)\,du
\;\ge\;
\frac{1}{\pi}\frac{\tau}{4\Delta^2+\tau^2}
\cdot \frac{1}{2\lambda}e^{-\lambda(\Xi+\Delta)} \cdot 2\Delta,
\]
すなわち
\[
K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}(t)
\;\ge\;
\frac{\tau\,\Delta}{\pi\,\lambda\,(4\Delta^2+\tau^2)}
e^{-\lambda(\Xi+\Delta)}.
\]
右辺は $\Xi,\lambda,\tau,\Delta>0$ のとき明らかに正であるから、
$\delta_{\mathrm{pos}}(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)>0$ が従う。
3.3 $\SigOne$ フレンドリーな外向き丸め
命題 3.5 ($\SigOne$ フレンドリーな有理下限).
有理数の入力 $(\Xi^\uparrow,\lambda^\uparrow,\tau^\uparrow,\Delta^\uparrow)$ と指数関数の有理下限包絡線 $E_{\mathrm{low}}$ を用いて、計算可能な有理数 $\widehat{\delta}_{\mathrm{pos}}$ を構成できる。
\[
0 < \widehat{\delta}_{\mathrm{pos}} \le \delta_\star \le \delta_{\mathrm{pos}}
\]
これは、ビーコン核の厳密な正値性の $\SigOne$（存在量化のみを含む）証明書となる。
構成の概略.
有理入力
\[
(\Xi^\uparrow,\lambda^\uparrow,\tau^\uparrow,\Delta^\uparrow)
\in \QQ_{>0}^4
\]
を与えられたとする（上向き丸めで $\Xi\le\Xi^\uparrow$ 等が成り立つと仮定する）。
定理 3.3 で得た下限式
\[
\delta_\star(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)
= \frac{\tau\,\Delta}{\pi\,\lambda\,(4\Delta^2+\tau^2)}
\exp\bigl(-\lambda(\Xi+\Delta)\bigr)
\]
を用い、以下のように有理数の $\widehat{\delta}_{\mathrm{pos}}$ を構成する：
- $\Xi^\uparrow,\lambda^\uparrow,\tau^\uparrow,\Delta^\uparrow$ から
\[
q := \lambda^\uparrow(\Xi^\uparrow+\Delta^\uparrow)\in\QQ_{>0}
\]
を計算する。
- 有界減少列 $(r_n)_{n\ge1}\subset\QQ_{>0}$ で
$r_n \downarrow e^{-q}$ となるような有理近似を取る
（例えば、テイラー多項式の上向き丸め＋単調性調整など、標準的な方法が用いられる）。
- ある $n_\star$ を選び、
\[
\mathrm{ExpLow}(q) := r_{n_\star}
\]
と定義する。このとき $0<\mathrm{ExpLow}(q) \le e^{-q}$ が成り立つ。
- 最後に
\[
\widehat{\delta}_{\mathrm{pos}}
:=
\frac{\tau^\uparrow\,\Delta^\uparrow}{\pi\,\lambda^\uparrow\,(4(\Delta^\uparrow)^2+(\tau^\uparrow)^2)}
\,\mathrm{ExpLow}\bigl(\lambda^\uparrow(\Xi^\uparrow+\Delta^\uparrow)\bigr)
\]
と定める。
これは明らかに有理数であり、かつ
\[
0 < \widehat{\delta}_{\mathrm{pos}} \le
\delta_\star(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)
\]
が成り立つ。
命題 3.5 の証明.
上の構成は有理演算と、単調減少な有理列による指数関数の下近似にのみ依存しており、計算手続きは全て $\Sigma_1$ 的（有限ステップの構成＋「ある $n_\star$ が存在する」）に記述できる。
定理 3.3 の単調性と、丸め方向の選択から
\[
0 < \widehat{\delta}_{\mathrm{pos}}
\le \delta_\star(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)
\le \delta_{\mathrm{pos}}(\Xi,\lambda,\tau,\Delta)
\]
が従う。
4. ビーコン散逸による有限閉包
仮定 4.1 (状態空間と外乱レベル).
状態空間をバナッハ空間 $(\mathcal{X},\|\cdot\|)$ とし、
軌道 $x:[0,\infty)\to\mathcal{X}$ は絶対連続、エネルギー汎関数 $V:\mathcal{X}\to[0,\infty)$ は $C^1$ であるとする。
また外乱 $w:[0,\infty)\to\mathcal{U}$ は可測で
\[
W_\infty^2 := \int_0^\infty \|w(t)\|^2\,dt < \infty
\]
を満たすと仮定する。
4.2 ビーコン散逸不等式と強制力
仮定 4.2 (ビーコン散逸).
ある $\kappa>0, \gamma\ge 0$ が存在し、軌道に沿って以下が成り立つ：
\[
\frac{d}{dt}V\bigl(x(t)\bigr) \le -\kappa\,\bigl\|b\bigl(x(t)\bigr)\bigr\|^2 + \gamma\,\|w(t)\|^2
\]
仮定 4.3 (ビーコン強制力 / Coercivity).
ある $m>0, R_0\ge 0$ が存在し、以下が成り立つ：
\[
V(x)\ge R_0 \implies \bigl\|b(x)\bigr\|^2 \ge m\,V(x)
\]
これは、「エネルギー $V$ が大きいとき、ビーコン観測 $b$ は小さくなり得ない」ことを意味する。
4.3 有限閉包と前方不変性
定理 4.4 (ビーコン散逸による有限閉包).
上記仮定の下、以下の半径 $R_{\mathrm{fc}}$ を定義する：
\[
R_{\mathrm{fc}} := \max\left\{ R_0,\; \frac{\gamma}{\kappa m}\,W_\infty^2 \right\}
\]
すると、以下の性質が成り立つ：
- 前方不変性: 初期状態が $\Omega_{R_{\mathrm{fc}}} = \{V\le R_{\mathrm{fc}}\}$ にあれば、軌道は常にそこに留まる。
- 究極的有界性: 任意の初期状態からの軌道は、最終的に $\Omega_{R_{\mathrm{fc}}}$ に捕捉される。
定理 4.4 の証明.
仮定 4.2, 4.3 より、$V(x(t))\ge R_0$ が成り立つ時間に対して
\[
\frac{d}{dt}V(x(t))
\;\le\;
-\kappa\,\|b(x(t))\|^2 + \gamma\,\|w(t)\|^2
\;\le\;
-\kappa m\,V(x(t)) + \gamma\,\|w(t)\|^2
\]
が得られる。$a := \kappa m>0$ と置き、
$d(t):=\gamma\|w(t)\|^2$ と書くと、
\[
\frac{d}{dt}V(x(t)) + a\,V(x(t)) \le d(t)
\]
である。グローワルの不等式から
\[
V(x(t))
\le V(x(0))e^{-at}
+ \int_0^t e^{-a(t-s)} d(s)\,ds
\]
が従う。
外乱についての仮定 4.1 より $d\in L^1([0,\infty))$ であり、
\[
\int_0^t e^{-a(t-s)} d(s)\,ds
\le \left(\sup_{u\ge0} e^{-au}\right) \int_0^\infty d(s)\,ds
\le \int_0^\infty d(s)\,ds
= \gamma \int_0^\infty \|w(s)\|^2 ds
= \gamma W_\infty^2
\]
となる。したがって全ての $t\ge0$ について
\[
V(x(t))
\le V(x(0))e^{-at} + \gamma W_\infty^2.
\]
ここから 2 つの主張を導く：
-
究極的有界性.
任意の初期値に対し、十分大きな $t$ で $V(x(0))e^{-at} \le (\gamma/(\kappa m))W_\infty^2$ とできるので、
\[
V(x(t))
\le \frac{\gamma}{\kappa m}W_\infty^2
\]
が成り立つ時刻が存在する。このとき定義より
\[
V(x(t)) \le R_{\mathrm{fc}}
:= \max\Bigl\{R_0, \frac{\gamma}{\kappa m}W_\infty^2\Bigr\}
\]
であるから、軌道は最終的に $\Omega_{R_{\mathrm{fc}}}=\{V\le R_{\mathrm{fc}}\}$ に捕捉される。
-
前方不変性.
初期状態が $V(x(0))\le R_{\mathrm{fc}}$ を満たすと仮定し、ある $t_1>0$ で初めて
$V(x(t_1))>R_{\mathrm{fc}}$ となると仮定して矛盾を導く。
連続性から $t_1$ 直前では $V(x(t))\ge R_0$ が成り立つので、
上記の微分不等式が適用できる。
ところが、$t\in[0,t_1]$ についての評価から
\[
V(x(t_1))
\le V(x(0))e^{-at_1} + \gamma W_\infty^2
\le R_{\mathrm{fc}}
\]
が従い、$V(x(t_1))>R_{\mathrm{fc}}$ に矛盾する。
したがって $\Omega_{R_{\mathrm{fc}}}$ は前方不変集合である。
以上により、定理 4.4 の二つの性質が証明された。
5. ビーコン原理：設計選択としてのウィンドウ配置
5.1 ウィンドウ、ターゲット、正値性バウンド
定義 (ビーコン・トリプル).
ビーコン・トリプルとは $\mathcal{B} := (W,\Phi,\delta)$ である。
ここで $W$ はウィンドウ、$\Phi$ はターゲット（タイプS, D, G）、$\delta$ は正値性バウンド ($0 < \delta \le \delta_{\mathrm{pos}}(W)$) である。
このトリプルは、エージェントがどこで、どのような解像度でシステムを観測し、何をエネルギー的に関連ありと見なし、どれだけの信号を無視できないとして扱うかというコミットメントをコード化する。
5.2 抽象的ビーコン原理
定義 (ビーコン適合エネルギー).
$V$ が $\mathcal{B}$ と適合するとは、ある $m, R_0$ に対して強制力条件（$V$ が大きければビーコン観測も大きい）を満たすことである。
定理 5.4 (ビーコン原理：抽象的有限閉包).
ビーコン・トリプル $\mathcal{B}=(W,\Phi,\delta)$ を固定し、システムがビーコン適合エネルギー $V$ に関して $\mathcal{B}$-散逸的であるとする。このとき、全ての軌道は、
$(W,\Phi,\delta)$、$V$、および外乱レベルのみによって決定される有限領域に閉じ込められる。
「ビーコン ＝ ウィンドウ × ターゲット × 正値性バウンド」
定理 5.4 の証明（4 章からの還元）.
5.2 節の定義より、ビーコン・トリプル
$\mathcal{B}=(W,\Phi,\delta)$ に対して次が成り立つ：
- ウィンドウ $W$ および湯川核・ポアソン核の選択から、3 章の定理 3.3 により
\[
K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}(t) \ge \delta > 0
\quad (|t|\le\Delta)
\]
となる一様ウィンドウ正値性が得られる。
- ターゲット $\Phi$ の構造的タイプ (S, D, G) により、
ビーコン観測 $b(x) := K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)} * \Phi(x)$ は
「エネルギー $V$ が大きいときは $b(x)$ も大きくならざるを得ない」
という意味で強制的になる。
これは 5.2 節のビーコン適合性条件として、仮定 4.3 型の
\[
V(x)\ge R_0 \;\Rightarrow\; \|b(x)\|^2 \ge m\,V(x)
\]
を与える。
- ダイナミクスのレベルでは、ビーコン適合エネルギー $V$ に対して、
散逸不等式（仮定 4.2 型）
\[
\frac{d}{dt}V(x(t)) \le -\kappa\|b(x(t))\|^2 + \gamma\|w(t)\|^2
\]
が成立するように設計されている。
外乱 $w$ の $L^2$ レベル $W_\infty$ は 4.1 の仮定で与えられる。
したがって、ビーコン適合性の定義は正確に 4 章の仮定 4.1–4.3 を満たすことを意味する。
よって定理 4.4 を適用すれば、
\[
R_{\mathrm{fc}} = R_{\mathrm{fc}}(\mathcal{B},V,W_\infty)
\]
として定まる有限半径に対し、全ての軌道が $\Omega_{R_{\mathrm{fc}}}$ に最終的に捕捉され、
かつ $\Omega_{R_{\mathrm{fc}}}$ が前方不変であることが従う。
これが定理 5.4 の主張と一致する。
6. 例：橋、意味OS、セキュリティカーネル
6.1 素数ビーコン：解析的整数論への展望
（※著者注：詳細な展開は別稿に譲る）
リーマンゼータ関数の零点に関連する誤差項 $x_{\mathrm{pr}}$ を状態、重み付き2乗積分を「素数エネルギー $E_{\mathrm{pr}}$」と見なす。これは勾配型（G）のビーコンとして定式化でき、素数定理の誤差項の有限閉包性を示唆する。
6.2 橋のダイナミクス（状態型ビーコン）
変位と速度を状態とし、特定の区間（ウィンドウ）の振動を監視する。構造減衰とフィードバックにより、エネルギー散逸が保証されれば、橋の振動振幅に対する明示的な有限バウンドが得られる。
6.3 意味OS（勾配型ビーコン）
状態空間を意味的構成（Semantic configurations）の空間とし、意味的エネルギー $E_{\mathrm{sem}}$ が不整合や対立をペナルティ化すると考える。
ビーコンターゲット $\Phi$ をエネルギー勾配（意味的緊張）に置く。
有限閉包定理は、「持続的な高い緊張（tension）は、ビーコンウィンドウを通じた散逸を引き起こさずには存続し得ない」ことを示す。
6.4 セキュリティカーネル（偏差型ビーコン）
システムの振る舞い $S(x)$ と参照（正常）振る舞い $S_{\mathrm{ref}}(x)$ の偏差を監視する。
異常エネルギー $V$ を偏差のノルムとして定義。
セキュリティカーネルによる応答（スロットリングや遮断）が散逸を引き起こすなら、異常エネルギーは有限レベルに抑制される。
付録 A: G型ビーコンのための十分条件
仮定 A.1 (G 型ビーコンのための勾配優越条件).
状態空間をヒルベルト空間 $(\mathcal{X},\langle\cdot,\cdot\rangle)$ とし、
エネルギー汎関数 $V:\mathcal{X}\to[0,\infty)$ は $C^1$ かつ $V(0)=0$ を満たすとする。
ある定数 $\mu>0$ および $R_0\ge0$ が存在して、以下の「勾配優越 (gradient dominance / PL 型不等式)」が成り立つ：
\[
V(x)\ge R_0
\quad\Longrightarrow\quad
\|\nabla V(x)\|^2 \;\ge\; 2\mu\,V(x).
\]
さらに、ビーコンが G 型、すなわち
\[
b(x) = B\bigl(\nabla V(x)\bigr)
\]
の形で与えられるとする。
ここで $B:\mathcal{X}\to\mathcal{X}$ は有界線形作用素であり、
ある定数 $c>0$ が存在して
\[
\|B y\| \;\ge\; c\,\|y\|
\quad
(y\in\mathrm{range}(\nabla V))
\]
が成り立つと仮定する。
命題 A.2 (G 型ビーコンに対する仮定 4.3 の十分条件).
仮定 A.1 が成り立つとき、仮定 4.3（ビーコン強制力）も成り立つ。
より具体的には、
\[
V(x)\ge R_0 \;\Longrightarrow\; \|b(x)\|^2 \ge m\,V(x)
\]
が
\[
m := 2\mu\,c^2 > 0
\]
に対して成立する。
証明.
$V(x)\ge R_0$ と仮定する。このとき、仮定 A.1 より
\[
\|\nabla V(x)\|^2 \;\ge\; 2\mu\,V(x)
\]
および
\[
\|b(x)\|
= \bigl\|B(\nabla V(x))\bigr\|
\;\ge\;
c\,\|\nabla V(x)\|
\]
が成り立つ。したがって
\[
\|b(x)\|^2
\;\ge\;
c^2\,\|\nabla V(x)\|^2
\;\ge\;
2\mu c^2\,V(x).
\]
ここで $m := 2\mu c^2$ とおけば、仮定 4.3 の形
\[
V(x)\ge R_0 \;\Longrightarrow\; \|b(x)\|^2 \ge m\,V(x)
\]
が従う。
参考文献 (References)
ISS, Lyapunov, and Ultimate Boundedness (Finite Closure の基礎)
- A. Mironchenko, C. Prieur, "Input-to-state stability of infinite-dimensional systems: recent results and open questions," SIAM Review, 62(3), 2020.
- A. Mironchenko, "Input-to-state stability of infinite-dimensional systems: foundations and present-day developments," in Handbook of Automation and Control, 2024.
- H. Ito, "Input-to-state stability and Lyapunov functions with explicit performance bounds," Discrete & Continuous Dynamical Systems-B, 26(12), 2021.
- I. Karafyllis, M. Krstic, Input-to-State Stability for PDEs, Springer, 2019.
- J. Zheng et al., "Generalized Lyapunov functionals for the input-to-state stability of infinite-dimensional systems," Automatica, 165, 2025.
Nagumo Type Invariance and Viability (有限閉包定理の背景)
- J.-P. Aubin, H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, 2009.
- O. Reynaud et al., "Nagumo-Type Characterization of Forward Invariance for Constrained Systems," arXiv preprint arXiv:2508.20045, 2025.
- Z. Badreddine, P. Cardaliaguet, C. Prieur, "Viability and invariance of systems on metric spaces," Automatica, 136, 2022.
Finite-Time Stability and Finite Radius (閉包の性質)
- S. P. Bhat, D. S. Bernstein, "Finite-Time Stability of Continuous Autonomous Systems," SIAM J. Control Optim., 38(3), 2000.
- H. Xu, "Finite-Time Stability Analysis: A Tutorial Survey," Complexity, 2020.
- A. Mele, G. Chesi, "Assessing the finite-time stability of nonlinear systems by Lyapunov functions and LMIs," Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 47, 2023.
CLF/CBF and Safe Control (ビーコン＝安全OSの文脈)
- B. Q. Li et al., "A survey on the control Lyapunov function and control barrier function for nonlinear-affine control systems," IEEE/CAA J. Automatica Sinica, 10(3), 2023.
- K. Garg et al., "Advances in the Theory of Control Barrier Functions," Annual Reviews in Control, 58, 2024.
- P. Panja, "Survey Paper on Control Barrier Functions," arXiv preprint arXiv:2408.13271, 2024.
Yukawa/Poisson Kernels and Potential Theory (ビーコン核の解析)
- R. J. Duffin, "Yukawa potential theory," J. Math. Anal. Appl., 35, 1971.
- A. Rasila, T. Sottinen, "Yukawa Potential, Panharmonic Measure and Brownian Motion," Axioms, 7(2), 2018.
- F. Sarcinella et al., "Nonlocal kinetic energy functionals in real space using a Yukawa-potential kernel," Phys. Rev. B, 103, 2021.